はじめに
以前、Boltzmann Machineの基礎を解説し、その最後に隠れ変数の意味について述べた。今回はRestricted Boltzmann Machineについて解説する。
Restricted Boltzmann Machine
Restricted Boltzmann Machineとは、可視層（入力層）と隠れ層（出力層）の2層から構成されるBoltzmann Machineである。ユニット間の結合は層間にのみ存在し、同一層内には存在しない（下図参照）。これが名前の由来である。
図の $\Gamma$ は可視ユニットの集合を、$\Lambda$ は隠れユニットの集合を表す。
エネルギー関数は次式で定義される。
\begin{equation}
\Phi({\bf V},{\bf H}|{\boldsymbol \Theta}) =
-\sum_{i\;\in\;\Gamma}\; \theta_{i}^V\;V_{i}
-\sum_{j\;\in\;\Lambda}\;\theta_{j}^H\;H_{j}
- \sum_{i\;\in\;\Gamma}\;\sum_{j\;\in\;\Lambda} \omega_{ij}\;V_{i}\;H_{j}
\label{energy}
\end{equation}
ただし、${\boldsymbol \Theta}=({\boldsymbol \theta}^V, {\boldsymbol \theta}^H, {\boldsymbol \omega})$ とした。
可視層と隠れ層のバイアス項は区別される。
${\bf V}$ と ${\bf H}$ はそれぞれ可視確率変数、隠れ確率変数を表す。
学習方程式
Restricted Boltzmann Machineの学習モデルは
先の解説と同様にBoltzmann関数である。
\begin{equation}
P_{B}({\bf V}, {\bf H}|{\boldsymbol \Theta}) = \frac{1}{ Z_{B}({\boldsymbol \Theta}) }
\exp\left[-\Phi({\bf V},{\bf H}|{\boldsymbol \Theta})\right]
\label{boltzmann-1}
\end{equation}
式を扱い易くするため、統計物理学で使用される自由エネルギー $F({\boldsymbol V}|{\boldsymbol \Theta})$
\begin{equation}
F({\boldsymbol V}|{\boldsymbol \Theta})=
-\ln{
\left(
\sum_{H_1=\pm1}\cdots\sum_{H_m\pm1}\;
\exp
\left[
-\Phi({\bf V},{\bf H}|{\boldsymbol \Theta})
\right]
\right)
}
\label{free}
\end{equation}
を導入する。このとき正規化因子（分配関数）は次式で与えられる。
\begin{equation}
Z_{B}({\boldsymbol \Theta})=
\sum_{V_1=\pm1}\cdots\sum_{V_n=\pm1}\;
\exp
\left[
-F({\boldsymbol V}|{\boldsymbol \Theta})
\right]
\end{equation}
式(\ref{energy})を式(\ref{free})に代入する。
\begin{eqnarray}
F({\boldsymbol V}|{\boldsymbol \Theta})
&=&
-\ln{\left(
\sum_{H_1}\cdots\sum_{H_m}\;
\exp
\left[
\sum_{i\;\in\;\Gamma}\; \theta_{i}^V\;V_{i}
+\sum_{j\;\in\;\Lambda}\;\theta_{j}^H\;H_{j}
+\sum_{i\;\in\;\Gamma}\;\sum_{j\;\in\;\Lambda} \omega_{ij}\;V_{i}\;H_{j}
\right]
\right)
}
\nonumber \\
&=&
-\ln{\left(
\exp
\left[
\sum_{i\;\in\;\Gamma}\; \theta_{i}^V\;V_{i}
\right]
\sum_{H_1=\pm 1}\cdots\sum_{H_m=\pm 1}
\;\exp
\left[
\sum_{j\;\in\;\Lambda}\;\theta_{j}^H\;H_{j}
+\sum_{i\;\in\;\Gamma}\;\sum_{j\;\in\;\Lambda} \omega_{ij}\;V_{i}\;H_{j}
\right]
\right)}
\nonumber \\
&=&
-\ln{\left(
\exp
\left[
\sum_{i\;\in\;\Gamma}\; \theta_{i}^V\;V_{i}
\right]
\sum_{H_1=\pm 1}
\;\exp
\left[
\left\{\theta_{1}^H+\sum_{i\;\in;\Gamma}\;\omega_{i1}\;V_{i}\right\}H_1
\right]
\cdots
\sum_{H_m=\pm 1}
\;\exp
\left[
\left\{\theta_{m}^H+\sum_{i;\in\;\Gamma}\;\omega_{im}\;V_{i}\right\}H_m
\right]
\right)}
\nonumber \\
&=&
-\ln{\left(
\exp
\left[
\sum_{i\;\in\;\Gamma}\; \theta_{i}^V\;V_{i}
\right]
\prod_{j\;\in\;\Lambda}\;2\;\cosh{\left\{\theta_{j}^H+\sum_{i\;\in\;\Gamma}\;\omega_{ij}\;V_{i}\right\}}
\right)} \nonumber \\
&=&
-\sum_{i\;\in\;\Gamma}\;\theta_i^V\;V_i - \sum_{j\;\in\;\Lambda}\;\ln{
\left(
2\cosh{\left\{\theta_j^H+\sum_{i\;\in\;\Gamma }\omega_{ij}\;V_i\right\}}
\right)
}
\label{free2}
\end{eqnarray}
$P_{B}({\bf V}, {\bf H}|{\boldsymbol \Theta})$を隠れ変数について周辺化したものは、自由エネルギー $F$ を使って
書くことができる。
\begin{eqnarray}
P_{V}({\bf V}|{\boldsymbol \Theta})
&\equiv& \sum_{H_1}\cdots\sum_{H_m}\;P_{B}({\bf V}, {\bf H}|{\boldsymbol \Theta}) \nonumber\\
&=&\frac{1}{Z_B({\boldsymbol \Theta})}\;
\exp{
\left[
-F\left({\boldsymbol V}|{\boldsymbol \Theta}\right)
\right]
}
\label{marginalv}
\end{eqnarray}
この式を使って次式を最大化することを考える。
\begin{equation}
L_{D}({\boldsymbol \Theta})=\sum_{\mu=1}^{N}\;\ln{P_{V}(\vec{v}^{\;\mu}|{\boldsymbol \Theta})}
\label{logld}
\end{equation}
ここで、$\vec{v}^{\;\mu}$は観測値である。
議論を一般化するため、パラメータ群 ${\boldsymbol \Theta}$ を代表するパラメータ $\xi$ を考え、これによる偏微分を
考える。
\begin{equation}
\frac{\partial L_D}{\partial \xi} = 0 \Leftrightarrow
E_V\left(\frac{\partial F({\boldsymbol V}|{\boldsymbol \Theta})}{\partial \xi}
\right)
=
\frac{1}{N}\;\sum_{\mu}\;
\frac{\partial F(\vec{v}^{\;\mu}|{\boldsymbol \Theta})}{\partial \xi}
\label{general}
\end{equation}
ここで、${\bf V}$ についての期待値
\begin{equation}
E_V(\nu)=\sum_{V_1}\cdots \sum_{V_n}\;
\nu\;P_{V}({\bf V}|{\boldsymbol \Theta})
\end{equation}
を定義した。
式(\ref{general})の左辺は確率変数についての期待値、右辺は観測値ついての期待値である。
$\xi=\{\theta_i^V, \theta_j^H, \omega_{ij}\}$ として次式を得る。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial L_D}{\partial \theta_i^V} = 0 &\Leftrightarrow& E_V(V_i) = \frac{1}{N}\;\sum_{\mu}\;v_i^{\;\mu} \label{le-1}\\
\frac{\partial L_D}{\partial \theta_j^H} = 0 &\Leftrightarrow& E_V
\left(
\tanh{
\lambda_j^{H}
}
\right)
= \frac{1}{N}\;\sum_{\mu}\;
\tanh{\lambda_j^{H,\;\mu}} \label{le-2}\\
\frac{\partial L_D}{\partial \omega_{ij}} = 0 &\Leftrightarrow& E_V\left(
V_i
\tanh{
\lambda_j^{H}
}
\right)
= \frac{1}{N}\;\sum_{\mu}\; v_i^{\;\mu}
\tanh{\lambda_j^{H,\;\mu}} \label{le-3}
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
\lambda_j^{H,\;\mu}&=&\theta_j^H+\sum_{k\;\in\;\Gamma}\omega_{kj}\;v_k^{\;\mu} \\
\lambda_j^{H}&=&\theta_j^H+\sum_{k\;\in\;\Gamma}\omega_{kj}\;V_k
\end{eqnarray}
とした。以下に $y=\tanh(x)$ のグラフを示す。
式(\ref{le-1})(\ref{le-2})(\ref{le-3})が Restricted Boltzmann Machine の学習方程式である。3式とも、左辺は確率変数 ${\bf V}$ についての期待値であり、「計算量の爆発」問題を抱えている。近似的解法が必要である。
RBMの性質
式(\ref{marginalv})とベイスの公式を使うと、確率変数 ${\bf V}$ を固定したもとで隠れ変数 ${\bf H}$ が$\pm 1$になる確率を求めることができる。
\begin{eqnarray}
P_{H|V}({\bf H}=\pm 1|{\bf V},\Theta)&=&\frac{P_B({\bf V},{\bf H}|\Theta)}{P_V({\bf V}|\Theta)} \nonumber \\
&=&\prod_{j\;\in\;\Lambda}\;\frac{1}{1+\exp{\left(\mp\;2\;\lambda_{j}^{H}\right)}}
\label{prior-1}
\end{eqnarray}
また、$P_B({\bf V},{\bf H}|\Theta)$ に対し、可視変数で周辺化し同様な計算を繰り返すと、確率変数 ${\bf H}$を固定したもとで可視変数 ${\bf V}$ が$\pm 1$になる確率を求めることができる。
\begin{equation}
P_{V|H}({\bf V}=\pm 1|{\bf H},\Theta)=\prod_{i\;\in\;\Gamma}\;\frac{1}{1+\exp{\left(\mp\;2\;\lambda_{i}^{V}\right)}}
\label{prior-2}
\end{equation}
ここで
\begin{eqnarray}
\lambda_j^H&=&\theta_j^H+\sum_{k\;\in\;\Gamma }\omega_{kj}\;V_k \\
\lambda_i^V&=&\theta_i^V+\sum_{k\;\in\;\Lambda}\omega_{ik}\;H_k
\end{eqnarray}
とした。以下に $y=1/(1+\exp{(-x)})$ のグラフを示す。
0から1の間を変化する関数、すなわち確率であることが確認できる。
式(\ref{prior-1})(\ref{prior-2})はいずれも、ユニットごとの確率の積となっている。これは、Restricted Boltzmann Machine に於いて、層内結合が存在しないためである。
ところで、
先の解説で、隠れ変数の導入はモデルの表現能力を高めると述べた。
式(\ref{marginalv})の形から、自由エネルギー $F$ は$P_B$における$\Phi$ に相当するものであることが分る。
$F$の第二項に対し、$\omega_{ij}$ を微小量としてテイラー展開を行なう。
\begin{eqnarray}
\ln{2\cosh{\left(\theta_j^H+\sum_{k\;\in\;\Gamma }\omega_{kj}\;V_k\right)}}&=&
\ln{2\cosh{\theta_j^H}}+\tanh{\theta_j^H} \cdot \sum_{k\;\in\;\Gamma}\omega_{kj}\;V_k \\
&+&\frac{1}{2} {\rm sech}^2 \theta_j^H \cdot \left( \sum_{k\;\in\;\Gamma}\omega_{kj}\;V_k \right)^2 \\
&-&\frac{1}{3} {\rm sech}^2 \theta_j^H \cdot \tanh{\theta_j^H} \cdot \left( \sum_{k\;\in\;\Gamma}\omega_{kj}\;V_k \right)^3\\
&+&{\it O}(\omega^4)
\end{eqnarray}
最初に導入したエネルギー関数(\ref{energy})は可視ユニット間の相互作用を含まないが、"有効"エネルギー関数にはこの相互作用が現れている。これは、可視ユニット同士が隠れユニットを介して結合することを意味する。相互作用の出現によりモデルの表現能力が高まるのである。
近似的解法（Contrastive Divergence）
ここでは、確率変数についての期待値 $E_V(\nu)$
\begin{equation}
E_V(\nu)=\sum_{V_1=\pm1}\cdots \sum_{V_n=\pm1}\;
\nu(V_1,\cdots,V_n|{\boldsymbol \Theta})\;P_{V}(V_1,\cdots,V_n|{\boldsymbol \Theta})
\end{equation}
を評価する近似法について述べる。右辺は $2^{n}$ 個の項の和であるが、これを観測値と同じ個数（$N$）の項の和で近似する。
\begin{equation}
E_V(\nu)\sim
\frac{1}{N}\sum_{\mu=1}^{N}\;
\nu(V_1^{\mu},\cdots,V_n^{\mu}|{\boldsymbol \Theta})
\label{app}
\end{equation}
話しを進める前に、式(\ref{prior-1})(\ref{prior-2})から各ユニットの条件付き確率を求めておく。
\begin{eqnarray}
P_{H|V} (H_j=\pm 1|{\bf V},\Theta)
&=&\frac{1}{1+\exp{\left(\mp\;2\;\lambda_{j}^{H}\right)}},\;\; j\;\in\;\Lambda \label{unit1} \\
P_{V|H} (V_i=\pm 1|{\bf H},\Theta)
&=&\frac{1}{1+\exp{\left(\mp\;2\;\lambda_{i}^{V}\right)}},\;\; i\;\in\;\Gamma \label{unit2}
\end{eqnarray}
まず最初に、${\bf V}^{\mu}=(V_1^{\mu},\cdots,V_n^{\mu})$ の初期値 ${\bf V}_0^{\;\mu}$ として観測値 $\vec{v}^{\;\mu}$ を採用する。
さらに、確率(\ref{unit1})を使って、${\bf H}^{\mu}=(H_1^{\mu},\cdots,H_m^{\mu})$ の初期値 ${\bf H}_0^{\;\mu}$ を計算する。
${\bf H}^{\mu}_0$ と確率(\ref{unit2})を使って ${\bf V}^{\mu}_1$ を計算する。これを $T$ 回繰り返す。
\begin{equation}
{\bf V}^{\mu}_0 \rightarrow {\bf H}^{\mu}_0 \rightarrow {\bf V}^{\mu}_1 \rightarrow {\bf H}^{\mu}_1 \cdots {\bf H}^{\mu}_{T-1} \rightarrow {\bf V}^{\mu}_T \nonumber
\end{equation}
${\bf V}^{\mu}_T$ を式(\ref{app}) に代入する。
\begin{equation}
E_V(\nu)\sim
\frac{1}{N}
\sum_{\mu=1}^{N}\;
\nu({\bf V}^{\mu}_T|{\boldsymbol \Theta})
\end{equation}
$T=1$ でも精度よく計算できることが知られている。
参考文献
- ディープボルツマンマシン入門 ボルツマンマシン学習の基礎, 安田宗樹, 人工知能学会誌 28巻 3号, 2013年5月.
- Restricted Boltzmann Machines (RBM)
- コンピュータビジョン最先端ガイド6, 第4章 ディープラーニング
