マジックナンバー70

経済学の本を読んでいると、たまにマジックナンバー70なる言葉が出てきます。たとえば、「軍事費が毎年5%ずつ増加したとき現在の２倍になるのは70/5=14年後である」といったように使われています。気になったので求めてみました。
現在の予算を とします。毎年 %ずつ増やしていき 年後に2倍になるとします。 このとき次式が成り立ちます。

両辺の を払って

3次までテイラー展開すると

ここで、 を仮定し、 を で置き換えると

となります。これの実数解は0.6988854...です。おおよそ0.7です。 つまり となります。両辺に100をかければ

となります。これがマジックナンバーの正体です（たぶん）。 上の計算から、nは大きいほど、xは小さいほど精度は上がることがわかります。