はじめに
ロボット工学で使われる順運動学と逆運動学についてまとめる。 実装編はこちら。
順運動学
３次元空間右手系の同次座標で議論を行う。各軸周りの回転行列は以下の通りである。
$x$軸周りの回転行列 $R_{x}(\theta)$:
\begin{equation} R_{x}(\theta) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} $y$軸周りの回転行列 $R_{y}(\theta)$: \begin{equation} R_{y}(\theta) = \left( \begin{array}{cccc} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} $z$軸周りの回転行列 $R_{z}(\theta)$: \begin{equation} R_{z}(\theta) = \left( \begin{array}{cccc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} また、方向 $\vec{l}$ への並進移動行列 $L(\vec{l})$ は次式で与えられる。 \begin{equation} L(\vec{l}) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & l_x \\ 0 & 1 & 0 & l_y \\ 0 & 0 & 1 & l_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} いま各関節 $n_i$ の初期状態が図のように与えられたとする。
逆運動学
腕（リンク）の長さが定数であるとき位置ベクトル $\vec{p}$ は $n$ 個の角度の関数である。 \begin{equation} \vec{p}= \vec{f}(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n) \end{equation} 変分をとると \begin{eqnarray} \delta\vec{p} &=& \vec{f}(\theta_1+\delta\theta_1,\theta_2+\delta\theta_2,\cdots,\theta_n+\delta\theta_n) - \vec{f}(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n)\nonumber \\ &=&\sum_{i=1}^{n}\;\frac{\partial\vec{f}}{\partial\theta_i}\;\delta\theta_i + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\;\frac{\partial^2\vec{f}}{\partial\theta_i\partial\theta_j}\;\delta\theta_i\;\delta\theta_j +\cdots \end{eqnarray} 2次以降の項を無視して書き下ろすと \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} \delta p_x \\ \delta p_y \\ \delta p_z \end{array} \right) &=& \left(\frac{\partial\vec{f}}{\partial\theta_1},\frac{\partial\vec{f}}{\partial\theta_2},\cdots,\frac{\partial\vec{f}}{\partial\theta_n}\right) \left( \begin{array}{c} \delta \theta_1 \\ \delta \theta_2 \\ \vdots \\ \delta \theta_n \end{array} \right) \nonumber \\ &=& \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial \theta_1} & \frac{\partial f_1}{\partial \theta_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial \theta_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial \theta_1} & \frac{\partial f_2}{\partial \theta_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial \theta_n} \\ \frac{\partial f_3}{\partial \theta_1} & \frac{\partial f_3}{\partial \theta_2} & \cdots & \frac{\partial f_3}{\partial \theta_n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \delta \theta_1 \\ \delta \theta_2 \\ \vdots \\ \delta \theta_n \end{array} \right) \nonumber \\ &\equiv& J \left( \begin{array}{c} \delta \theta_1 \\ \delta \theta_2 \\ \vdots \\ \delta \theta_n \end{array} \right) \end{eqnarray} となる。ここで行列 $J$ はヤコビアン（Jacobian）である。いまの場合 $3 \times n$ の行列となる。要素に現れる偏微分は次式で計算できる。 \begin{equation} \frac{\partial \vec{f}}{\partial \theta_i} = R_{a_{1}}(\theta_1) L(\vec{l}_1) \cdots \frac{dR_{a_{i}}(\theta_i)}{d\theta_i} L(\vec{l}_i) \cdots R_{a_{n}}(\theta_n) L(\vec{l}_n) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{equation} 逆行列 $J^{-1}$を使えば位置の変位量 $\delta \vec{p}$ から角度の変位量 $\delta \vec{\theta}$ を求めることができる。 \begin{equation} \delta \vec{\theta} = J^{-1}\;\delta\vec{p} \end{equation} ${\rm rank}(J)>3$のとき $J$ の逆行列は無数に存在する。 すなわち、関節の数が3より大きい場合、1つの端点（end effector）の位置に対応する腕の姿勢は無数に存在する。したがって、任意の拘束条件を導入して $\delta \vec{\theta}$ を一意に決定する必要がある。その代表的な方法が、擬似逆行列（pseudoinverse）$J^{\#}$ を用いる方法である。 \begin{equation} \delta \vec{\theta} = J^{\#} \delta\vec{p} \end{equation} ここで、 \begin{equation} J^{\#}=J^{T}\;(J\;J^{T})^{-1} \end{equation} である。 逆運動学問題を解く手順は以下の通りである。
- 端点の目標位置を $\vec{p}_{\rm G}$ とする。
- 現在の端点の位置 $\vec{p}$ からの変位量 $\vec{d} = \vec{p}_{\rm G}-\vec{p}$ から微小変位量を求める。$\delta \vec{p}=\alpha\;\vec{d}/|\vec{d}|$。ここで $\alpha$ は適当な微小量である。
- 現在の $\vec{\theta}$ を使って $J^{\#}$ を計算する。
- $\delta \vec{\theta}=J^{\#} \delta\vec{p}$ を計算する。
- $\vec{\theta} \leftarrow \vec{\theta} + \delta \vec{\theta}, \vec{p} \leftarrow \vec{p} + \delta \vec{p}$
- 更新後の変位量 $|\vec{d}| = |\vec{p}_{\rm G}-\vec{p}|$が許容誤差 $\epsilon$ 以下なら計算終了。そうでなければ、2へ戻る。
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