word2vec その2

はじめに

　このページの続きです。

やりたいこと

　単語列 \begin{equation} W = \{w_1,\cdots, w_T\} \end{equation} が与えられているとき、この単語列に含まれる任意の単語$w_t$を考える。$w_t$を含む文からその周辺の単語の集合$\Xi_{w_t}$を作ることができる。 \begin{equation} \Xi_{w_t} = \{\xi_1^t, \cdots, \xi_C^t\} \end{equation} このとき、以下の対数尤度を考える。 \begin{eqnarray} L&=&\sum_{t=1}^T \sum_{c=1}^{C} \biggl\{ \log{\sigma(s(\xi_c^t,w_t))}+\sum_{w \in {\rm Ng}}\log{\sigma(-s(w,w_t))} \biggr\} \label{obj}\\ \sigma(x) &=& \frac{1}{1+\exp{(-x)}}\\ s(a,b) &=& \vec{u}^T_a \cdot \vec{v}_b \end{eqnarray} ここで、${\rm Ng}$は分布 \begin{equation} p(w) = \frac{U(w)^{0.75}}{\sum_{t=1}^{T}U(w_t)^{0.75}} \end{equation} に従ってサンプリングした$k$個の単語の集合である。$U(w)$は単語の出現頻度である。本ページでは、上記の対数尤度の最大化問題を、Neural Networkを用いて解くことができることを示す。

Neural Networkによる表現

　単語列$W$内の$t$番目の単語$w_t$を以下のone-hot vector $\vec{x}_t$で表現する。 \begin{equation} \vec{x}_t = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) \end{equation} $t$番目の要素だけが1の$T$次元ベクトルである。次に、行列$W_I$と$W_O$を次式で定義する。 \begin{eqnarray} W_I&=&\left[\vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_T\right] \\ W_O&=&\left( \begin{array}{c} \vec{u}_1^T \\ \vdots \\ \vec{u}_T^T \end{array} \right) \end{eqnarray} ここで、$\vec{v}_t$と$\vec{u}_t$は$M$次元ベクトルとする。従って、$W_I$は$M\times T$行列、$W_O$は$T\times M$行列である。これらを用いると \begin{eqnarray} (W_O\; W_I\; \vec{x}_t)_i &=& (W_O)_{ik}\;(W_I\;\vec{x}_t)_k \\ &=&(W_O)_{ik}\;(W_I)_{km} (\vec{x}_t)_{m}\\ &=& u_{ik}\;v_{mk}\;x_{tm} \\ &=& u_{ik}\;v_{mk}\;\delta_{tm} \\ &=& u_{ik}\;v_{tk} \\ &=& \vec{u}_{i}^T \cdot \vec{v}_{t} \\ &=& s(i, t) \end{eqnarray} となる。これを図にすると以下のようなる。

以上から以下のことが分る。

1. 式(\ref{obj})の第1項に含まれる$s(\xi_c^t, w_t)$を計算するには、$w_t$に相当するone-hot vector $\vec{x}_t$をネットワークに入力し、その出力ベクトル（$T$次元ペクトル）の成分のうち、$\xi_c^t$に相当するものを取り出せば良い。
2. 式(\ref{obj})の第2項に含まれる$s(w, w_t)$の計算も同様である。

これらの計算のあと活性化関数としてsigmoid関数を作用させ、従来の手法（確率的最急降下法など）を使って$L$を最適化すれば良い。この計算で求まる行列$W_I$を使って単語$w_t$を表現するベクトル$\vec{v}_t$が次式で決まる。 \begin{equation} \vec{v}_t = W_I\;\vec{x}_t \end{equation} $T \gg M$と取るので低次元で効率良く単語を表現できるベクトルを得ることができる。

Chainerによる実装

　Chainerのソースには、word2vecのサンプルプログラムが含まれている。このサンプルプログラムには、Skip Gram以外にContinuous BoWも実装されており、さらに、Negative Sampling以外の損失関数も選択できるようになっている。以下に示すのは、サンプルプログラムを参考にして、Skip GramかつNegative Samplingの場合のクラスを実装したものである。

1. 5行目で定義されるL.EmbedIDは、$W_I$に相当する。
2. 6行目で定義されるL.NegativeSamplingは、式(\ref{obj})を計算する。この関数の中に$W_O$に相当するものがある。
3. n_vocabは$T$、n_unitsは$M$に相当する。
4. countsは$U(w)$に相当する。
5. sample_sizeは$k$に相当する。
6. 13行目の引数xはいま対象にする単語$w_t$、contextは$\Xi_{w_t}$に相当する。ただし、batch処理が考慮されている。

ここまでは式と対応付けることができたが、関数__call__の中で行っている処理で分らなくなる。最初にself.embed(context)を実行している。$\Xi_{w_t}$の中の1つの単語を$\vec{x}_t$とおくと、この計算は$W_I\;\vec{x}_t$に相当してしまう。定式化では$\Xi_{w_t}$に含まれる単語には$W_O$が作用するはずである。さてどこでおかしくなったのか？