EMアルゴリズム 〜OpenCVによる実践〜

in English

はじめに

先のページでEMアルゴリズムの理論をまとめた。今回は、OpenCVにあるEMアルゴリズムの実装を使い、類似色による領域分割を行う。この際、先の解説で定義した量との対応付けも行う。

表式一覧

OpenCVが計算する量との対応付けを行うため、先のページにある表式を再掲しておく。

最大化すべき尤度は次式で定義される。

ここで、 は規格化されたガウス関数であり、 は観測点、 は平均値ベクトル、 は共分散行列である。 は各ガウス関数の重みである。 また、EMアルゴリズムでは以下の量も使用した。

プログラム

main関数は以下の通りである。考える空間はRGB色空間であり、画像上の各画素値が観測点となる。すなわち、 である。 は全画素数に相当する。

1. 3-6行目：入力画像を読み込む（image）。画像の型を確認し、変数image_rowsとimage_colsを定義する。
2. 10-13行目：imageの形状を変更し、reshaped_imageを作る。型、行数、列数を確認する。
3. 16-20行目：reshaped_imageの型を変更し、samplesを作る。型、行数、列数を確認する。samplesはEMアルゴリズムの入力となる。
4. 22-23行目：EMアルゴリズムcv::EMのインスタンスを作成する。cv::EMのコンストラクタの引数は以下の通りである。
   • 第1引数：ガウス関数の個数
   • 第2引数：共分散行列のタイプ
   • 第3引数：アルゴリズムの停止条件
   第1引数は に相当する。 今回の実装では、第1引数以外はデフォルト値を利用した。第2引数のデフォルト値は、EM::COV_MAT_DIAGONALであり、これは正の値を成分として持つ対角行列を意味する。すなわち、未知数はD個である。ここで、Dは観測点の定義される空間の次元である。いまの場合、3である。
5. 26-28行目：出力値を格納する行列を用意する。
6. 31行目：EMアルゴリズムを実行する。 関数trainは、初期状態を生成するため、K-meansクラスタリングを実行する。
7. 33-35行目：出力値log_likelihoodsの型、行数、列数を確認する。各行には以下の量が格納されている。
   
8. 37-39行目：出力値labelsの型、行数、列数を確認する。 labelsには以下の量が格納される。
   （以下の記述を修正しました。2013/3/21）
   
   ここで、
   
   
   とした。 は観測点の実現確率である。
   
   
9. 41-44行目：出力値probsの型、行数、列数を確認する。probsには が格納される。関数observe_probsについては後述する。
10. 46-50行目：出力値meansの型、行数、列数を確認する。 が格納されている。RGB空間を考えているので、これは3次元ベクトルである。関数observe_labels_and_meansについては後述する。
11. 52-56行目：出力値weightsの型、行数、列数を確認する。ここには が格納されている。 関数observe_weightsについては後述する。

関数observe_probsは以下の通りである。

1. 13行目：以下の等式を確認している。
   
2. 16行目：以下の等式を確認している。
   

関数observe_weightsは以下の通りである。

1. 10行目：以下の等式を確認している。
   

関数observe_labels_and_meansは以下の通りである。この関数では、各点（各画素）に割り振られたラベルkを、それに対応する平均値ベクトル に置き換えている。

1. 4行目：最終結果を収める行列rgb_imageを作る。
2. 9-11行目：meansはcluster_number x 3の行列である。ここで3は空間の次元である。各行にはガウス関数の中心座標（平均値ベクトル）が収められている。meansの要素の型を浮動小数点から0から255までのstd::uint8_tへ変更する。さらに、チャンネル数を3に変更する。
3. 13-18行目：ラベルの値を(B,G,R)に置き換え、最終画像rgb_imageを作る。

結果

cluster_num=2

cluster_num=3

cluster_num=5

cluster_num=10

元画像

開発環境

1. Mac OS X 10.8.2
2. プロセッサ：3.06 GHz Intel Core 2 Duo
3. メモリ：4GB
4. Xcode4.6 with Apple LLVM 4.2（C++ Language Dialect → GNU++11, C++ Standard Library → libc++）
5. boost-1.51.0（Apple LLVM 4.1でコンパイルしたもの。こちら）
6. opencv-2.4.3（Apple LLVM 4.2でコンパイルしたもの。こちら）

参考文献

1. Pattern Recognition and Machine Learning, Christopher M. Bishop, Springer
2. OpenCVドキュメント